Modell eines Blauwals
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Funktion aufstellen
Funktion \(g\) ist eine Funktion 4. Grades. Wir definieren die allgemeine Funktion. Für Definitionen verwenden wir den Befehl Define, den wir unter \(\boxed{Math3}\) finden.
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Beachte:
Das Mal-Zeichen muss bei der Definition zwischen zwei Variablen mitgeschrieben werden.
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Es gelten nun folgende Bedingungen:
\( \quad \begin{array}{ l c c c l } A( 0|7 ) && \Rightarrow && g(0)=7 \\[6pt] B( 10|\frac{19}{4} ) && \Rightarrow && g(10)=\frac{19}{4} \\[6pt] C( 25| 7 ) && \Rightarrow && g(25)=7 \\[6pt] \textrm{gleiche Steigung bei} \; x=25 && \Rightarrow && g'(25)=f'(25) \\[6pt] \textrm{Steigung}=0 \; \textrm{bei} \; x=7{,}5 && \Rightarrow && g'(7{,}5)=0 \\ \end{array} \)
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Funktion \(f\) wird ebenfalls definiert.
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Wir benötigen nun jeweils die 1. Ableitung von f(x) und von g(x), die auf folgende Art geschrieben werden:
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Wir erstellen ein Gleichungssystem mit einem Werkzeug, dass wir auf dem Keyboard unter \(\boxed{Math1}\) finden.
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Wir klicken viermal darauf, um 5 Zeilen zu erhalten. Um die Ausgabe in Brüchen zu erhalten, muss die Anzeige von dezimal auf standard umgestellt sein.
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Die Funktion \(g\) hat damit den Funktionsterm
\( \quad g(x) \; = \; \frac{1}{50000} x^4 - \frac{11}{5000} x^3 + \frac{29}{400} x^2 - \frac{3}{4} x + 7 \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – maximale Dicke des Längsschnitts
Zunächst wird Funktion \(g\) neu definiert.
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Die Dicke des Längsschnitts wird nun durch eine Funktion \(d\) mit
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definiert. Um das Maximum zu ermitteln, gilt die
\(\\[1em]\)
notwendige Bedingung
\( \quad d'(x)=0 \)
Wir lösen die Gleichung mit dem solve-Befehl, der unter \(\boxed{Math1}\) zu finden ist
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mit
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oder in dezimal
\(\\[1em]\)
hinreichende Bedingung
Wir überprüfen die \(x\)-Werte mit der 2. Ableitung, wobei \(x=-71{,}2695\) außerhalb des Definitionsbereichs der beiden Funktionen \(f\) und \(g\) liegt. Dieser Wert braucht nicht weiter überprüft werden.
\( \quad \begin{array}{ l c l } d''\left(\frac{25 \cdot \sqrt{41}}{4}-\frac{125}{4}\right) & < & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Maximum} \\[6pt] d''(25) & > & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Minimum} \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Dicke bestimmen
\(\frac{25 \cdot \sqrt{41}}{4}-\frac{125}{4}\) eingesetzt in \(d\) ergibt
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Die maximale Dicke beträgt \(5{,}025 \; m\).
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